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“两角和差倍分”的解题策略之一--“12345”模型

2018-08-07  逸飞扬2018

写在前




   

本文是去年暑假整理的2012年到2017 的南通中考题和17年南通各县市的模考题,发现几乎每份试卷中总有那么一题,甚至几题,而且大多是压轴题,均可以用“12345”来解决.并且你将会发现它所带来的神奇!那么究竟什么是“12345”模型呢?下面主要从两方面来谈谈.一、“12345”的由来;二、“12345”在中考题中的运用.

 

一、“12345”的由来( 于新华老师)

首先请大家思考这样一个问题:我们如何刻画一个角大小呢?角的大小有两种刻画方法:一种是传统的、人人皆知的度数刻画法;另一种是常被我们忽略的边长刻画法(即三角函数值).如果两个角的大小是用度数体现的,那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来.但如果两个角的大小是采用边长(即三角函数值)刻画的,那么两个角的和或差的大小是多少呢?自然,这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画.虽然,学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式,但现在讨论的背景是初中数学教学,因此我们要回避用高中数学知识.

对于本题的第三问,大家拿到题目后如何思考,能否在瞬间给出答案呢?

再如南通2012,2014,2015等几年的压轴题,以及今年南通中考的27题都是和角的和差倍分有关的.大家都知道一般处理三角函数都是构造在一个直角三角形中处理的,而在所有的直角三角形中,我们最熟悉的就是边长为345的直角三角形.而它在一些综合题中也是频频出现,可能是因为命题成员为了突出考查数学的思维能力,简化运算量,在设计数据时比较多的用到了345或其倍数.而且两个锐角的半角表示也极其简单,这也许在命题中频频出现的原因吧!

对于这个直角三角形,只要给定边,我们很容易知道两个锐角的三角函数,大家也会很快构造出它们的半角,从而求出其三角函数.

为了形象好记,便于交流,网络上称之为“12345”. 

二、“12345”在中考题中的运用

1

网格类:

2

折叠类(倍半角)

3

综合题


  其实,“12345”是处理有关角关系中特殊的一种,面临更一般的两角和差倍分是否有其通法呢?如2014南通压轴题:

这就是网络上所说的“矩形大法”.利用这个矩形构造可以解决所有已知两角的和差.如果有机会我们再一起研讨它的构造与实际运用.

以上所列举的题,利用“12345”解题也许未必是最简,最巧妙的,但至少可以成为一种通性通法,可以在短时间内快速破题,而不必死掉过多的脑细胞.毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的.

如果大家感兴趣的话,可以做做下面几题,感受一下“12345”在解决一些压轴题中的作用.



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